Класичні парадокси в теорії ймовірностей

 КЛАСИЧНІ ПАРАДОКСИ В ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

Досвідом кожен називає свої помилки.

Оскар Вайльд

     Парадокс гральних кубиків

 Історія парадоксу

Гра в кубики була найпопулярнішою азартною грою до кінця середньовіччя. Саме слово “азарт” походить від  арабського слова “аль-зар”, що перекладається як “гральний кубик”. Якщо картярські ігри стали популярними в Європі лише в ХІ\/ віці, то ця користувалася успіхом ще в Древньому Єгипті і пізніше в Греції, а потім в Римській імперії. За грецькою легендою, її запропонував Паламедей для розваги грецьких солдат, які нудьгували в очікуванні битви за Трою. Найбільш ранньою книжкою з теорії ймовірностей є “Книга про гру в кубики” Джероламо Кардано (1501-1576). Вона була опублікована аж в 1663 р. Мабуть, з цієї причини Галілей став займатися тією ж задачею, хоча вона була розв¢язана в книзі Кардано. Галілей також написав трактат на цю тему десь між 1613 і 1624 р.

 Парадокс

При підкиданні двох кубиків  9 і 10 можна отримати двома способами: 9=3+6=4+5, 10=4+6=5+5. Якщо кубиків три, то 9 і 10 отримуються шістьма способами. Чому ж 9 з¢являється частіше на двох кубиках, а 10 на трьох?

Пояснення

Аж дивно, що ця задача вважалася страшенно складною. І Кардано, і Галілей вказували на необхідність врахування порядку випадання чисел.

 Зауваження

Помилялися і Лейбніц, один з творців диференціального і інтегрального числень, і Даламбер, один з великих авторів знаменитої Французької енциклопедії. Якось Даламберу задали питання: з якою ймовірністю монета, підкинута двічі, хоча б один раз випаде гербом? Його відповідь була 2/3, оскільки він вважав, що є три випадки і серед них лише один несприятливий. Ця точка зору була навіть опублікована в Енциклопедії в 1754 р.

Ця задача певним чином зв¢язана з напрямками фізики ХІХ і ХХ століть. Нехай замість кубика ми маємо справу з фізичними частинками. Кожна грань кубика відповідає тепер фазовій комірці, в якій частинка опиняється випадковим чином і яка характеризує її стан. В цьому випадку гра в кубики єквівалента моделі Максвелла-Больцмана для фізичних частинок. В цій моделі, яка звичайно використовується для молекул газу, кожна частинка з рівними шансами потрапляє в довільну комірку, так що при заданні простору рівноможливих подій слід враховувати порядок так само, як і в задачі про кубики. Існує інша модель, в якій частинки нерозрізнимі, і тому при підрахунку рівноможливих подій порядок не треба брати до уваги. Цю модель названо іменами Бозе і Ейнштейна. Використовуючи цю термінологію, можна сказати, що гра в кубики описується моделлю Максвелла-Больцмана, а не Бозе-Ейнштейна. Слід вказати, що жодна з цих моделей не є коректною для зв¢язаних електронів, оскільки при цьому в одній комірці може опинитися не більше однієї частинки. Тут виникає модель Фермі-Дірака. Крім вказаних трьох моделей, існує велика кількість інших.